Przegląd nowości

Świat muzyki i matematyka

Szczegóły

Opublikowano: piątek, 03, maj 2024 21:47

 Matematyczna analiza dźwięków

Z powyższych rozważań wynika, że pojedynczy dźwięk można opisać na gruncie matematyki za pomocą sinusoidy o określonej długości okresu T, zwanej w fizyce długością L fali dźwiękowej i określonej amplitudzie A, czyli największej wartości, jaką przyjmuje ta funkcja:

gdzie liczba a(t) jest wartością odchylenia w ruchu drgającym w chwili t, A zaś jest amplitudą. Wykresem tej funkcji a(t) jest krzywa w kształcie sinusoidy.

Matematyczną prezentacją dźwięku jest funkcja zmiennej t (czas) o wartościach liczbowych (odchylenie), a więc funkcja liczbowo-liczbowa. Funkcję liczbowo-liczbową utożsamia się z jej wykresem. Ten wykres staje się zatem matematyczną prezentacją dźwięku. W ten sposób możemy mówić o wykresie dźwięku. Przyjmijmy, że prezentacją dźwięku d_j jest funkcja f_j. Chodzi tu o szczególne funkcje (każda musi być okresowa).

Przyporządkowanie, w którym dźwiękowi odpowiada długości L jego fali, jest funkcją różnowartościową, a zatem nie ma dwóch różnych dźwięków o tej samej długości fali.

Równoczesne zagranie kilku dźwięków może być miłe dla ucha (współbrzmienie konsonasowe), albo niemiłe (współbrzmienie dysonansowe).

Postawmy pytanie, czym jest z matematycznego punktu widzenia dźwięk powstały z kompilacji innych dźwięków, czyli z równoczesnego „zagrania tych dźwięków”.

Aby na nie odpowiedzieć, pozostańmy przy instrumentach klawiszowych. Każdy klawisz wywołuje (generuje) odpowiedni dźwięk (każdy klawisz inny). Załóżmy, że klawisz k_j generuje dźwięk d_j.

Jeśli naciśniemy równocześnie dwa klawisze k₁ i k₂, to słyszymy współbrzmienie dwóch dźwięków. Prezentacją tego jest funkcja f_1-2, gdzie f_{1- 2} = f₁ + f₂.

Współbrzmienie d₁₂generowane przez równoczesne naciśnięcie klawiszy k₁i k₂ możemy nazywać sumą dźwięków d₁ i d₂. Analogicznie określimy sumę trzech lub więcej dźwięków. Sumę co najmniej trzech dźwięków, ułożonych według ściśle określonych zasad,  nazywamy akordem.

Wróćmy do równoczesnego zagrania kilku dźwięków (dwóch lub więcej). Z matematycznego punktu widzenia wykresem takiej sumy dźwięków jest wykres sumy funkcji prezentujących poszczególne dźwięki. Rozważmy przykład. Weźmy następujące funkcje okresowe zadane wzorami:

Nietrudno zauważyć, że    dla   n=1, 2, 3, 4, 5.

• « poprz.
• nast. »