Przegląd nowości

Świat muzyki i matematyka

• 

Szczegóły

Opublikowano: piątek, 03, maj 2024 21:47

Matematyczne pojęcia i metody spotykamy dziś praktycznie w każdej dziedzinie życia i działalności człowieka. Za pomocą matematyki wyjaśniamy prawa przyrody, matematyczne pojęcia służą w procesie podejmowania decyzji (np. ekonomicznych). Matematyka dostarcza narzędzi przy projektowaniu inżynierskim i architektonicznym, przy stawianiu diagnoz medycznych na podstawie zdjęć trójwymiarowych.

Matematyka również jest „obecna” w muzyce. Wybrane dziedziny muzyki analizujemy i opisujemy za pomocą pojęć i języka matematyki. Dydaktyka matematyki mówi w tym kontekście o procesie matematyzacji. Hans Freundethal nazywa matematyzacją porządkowanie fragmentów otaczającego nas świata za pomocą pojęć i języka matematyki, tworzenie matematycznego modelu tego fragmentu rzeczywistości. Według Hansa Freudenthala jednym z ważniejszych celów powszechnego kształcenia matematycznego jest „uczyć matematyzować” rzeczywistość, ukazywać „co, jak i dlaczego się matematyzuje”.

Źródła dźwięków i fala dźwiękowa

Każde wrażenie słuchowe które dociera do naszego ucha, jest zbiorem drgań cząstek powietrza, wytworzonych przez źródło szumu lub dźwięku. W akustyce dźwięk jest odgłosem o określonej częstotliwości drgań. Szum natomiast określonej częstotliwości nie posiada. Najprostszym przykładem szumu jest odgłos wody płynącej w strumieniu, bądź zbliżającej się do brzegu morza. Ocieranie cząsteczek wody o siebie i o otaczające ją środowisko wydaje odgłos, który dociera do membrany naszego ucha. Przykładem dźwięku jest ocieranie smyczka o struny skrzypiec, lub smyczka o metalową piłę. Również w tym przypadku w wyniku tarcia wydawany jest dźwięk o określonej częstotliwości, który przenoszony jest przez cząstki powietrza w postaci fali dźwiękowej.

Aby dostrzec w rzeczywistości falę dźwiękową, wykonuje się doświadczenie, znane z lekcji fizyki. Urządzenie w kształcie szklanego walca, zwane rurą Kundta, wypełnia się drobnymi opiłkami korka. Do rury dołączony jest metalowy pręt, który drga dzięki zamocowaniu go w uchwycie imadła. Jeśli pręt wprowadzimy w ruch drgający, to jego drgania przeniesione do szklanego walca powodują drganie cząstek powietrza wewnątrz rury. Te drgania sprawiają, że lekkie opiłki korka układają się wewnątrz rury w osobliwym kształcie, który widzimy jako sinusoidę. Jest ona wizualizacją, a więc ikoniczną prezentacją fali dźwiękowej, wytworzonej przez drgający pręt. Z punktu widzenia matematyki wizualizacja fali dźwiękowej w tej rurze jest wykresem pewnej funkcji. Chodzi o odchylenie drgania jako funkcję czasu. Wprowadźmy układ współrzędnych tak, by osią odciętych była oś walca, osią rzędnych jest prostopadła doń w dowolnym punkcie. W ten sposób rozpoczynamy fazę matematyzacji. Posuwając się od lewej strony osi w prawo interesujmy się położeniem cząstek korka względem tej osi (chodzi tylko o kierunek góra – dół). Tak obserwowane cząstki korka tworzą wykres wspomnianej funkcji. Wykres ten ma wyraźnie kształt sinusoidy.

Niech t oznacza punkt na osi odciętych, który traktujemy jako czas. Niech a(t) oznacza odchylenie (w górę lub w dół) cząstki korka od osi w chwili t. Mówimy tu więc o funkcji a(t) określonej wzorem a(t) = A×sint, gdzie A jest największym odchyleniem cząstki od osi odciętych. Liczbę A nazywamy  amplitudą. Długość T okresu funkcji a(t) = A×sint zależy od częstotliwości f drgań pręta, czyli od liczby jego drgnięć, wykonanych w określonej jednostce czasu. Jednostką częstotliwości fali dźwiękowej jest herz (1 Hz). Mówimy, że częstotliwość fali jest równa 1 Hz, jeśli czas potrzebny na pokonanie przez cząstkę jednego okresu jest jedną sekundą.

W trakcie opisywanego doświadczenia pojawia się dźwięk wywołany drganiem cząstek powietrza wewnątrz rury, spowodowany drganiem pręta o określonej długości. Cząstki korka są jedynie wizualizacją ruchów (drgań) cząstek powietrza. Przedmiotem dalszych rozważań jest próba rozstrzygania, jak w zależności od długości drgającego pręta zmienia się wysokość dźwięku. Jeśli przesuniemy punkt uchwytu pręta w imadle, to drgająca część pręta ulegnie wydłużeniu lub skróceniu. Zmieni się wówczas częstotliwość drgań pręta, a wraz z nią długość fali dźwiękowej, wytworzonej przez drgający pręt.

Doświadczenie z rurą Kundta pokazuje, że im długość drgającego pręta staje się krótsza, tym dźwięk jest wyższy, ponieważ jego częstotliwość jest wyższa, a długość fali dźwiękowej krótsza. Długość fali dźwiękowej drgającego pręta można doświadczalnie zmierzyć jako długość okresu sinusoidy, wykreślonej przez opiłki korka.

W tym celu w jednym z końców rury Kundta montuje się gumowy korek zamykający szczelnie tę rurę. Można go przesuwać, wydłużając lub skracając tym samym długość rury. Dla ustalonej długości drgającego pręta tak dopasowuje się położenie gumowego korka, aby wewnątrz rury mieściła się dokładnie jedna długość fali dźwiękowej. Rozpoznajemy ją po tym, że opiłki korka układają się w kształt sinusoidy w przedziale o długości jej okresu. Długość ta jest równa długości fali dźwiękowej wytworzonej przez drgający pręt. Każdej długości drgającego pręta odpowiada inna długość rury Kundta a zatem długość fali dźwiękowej. Fala dźwiękowa, która doszła do końca rury odbija się od niej i powraca po tej samej sinusoidzie. Mówimy wówczas, że mamy do czynienia z falą stojącą. Znając długość fali dźwiękowej w rurze Kundta, możemy wyznaczyć precyzyjnie częstotliwość drgań pręta. Między częstotliwością f, długością L fali i jej prędkością v zachodzi związek:

Opisane powyżej fakty były znane Pitagorejczykom. Wykonywali oni podobne doświadczenia, ale zamiast rury używali naprężonej struny, o zamocowanych końcach. Ten instrument nazywano monochordem (w jez. greckim monochord znaczy „jeden dźwięk”).

Strunę monochordu dzielono za pomocą podpórki na dwie części, z których każda wydawała inny dźwięk. Gdy podpórka znajdowała się na środku struny, obie połówki struny wydawały dokładnie ten sam dźwięk. Pitagorejczyków interesowały ułamki, których licznik stanowił długość kawałka struny od jej początku do podpórki a mianownik długość całej struny. Są to ułamki właściwe. Zauważono wówczas, że jeśli po skróceniu tych ułamków ich liczniki i mianowniki są liczbami całkowitymi, to dźwięki wydawane przez drgające kawałki struny dobrze brzmią dla ucha. Takie szczególne dźwięki nazwano tonami podstawowymi (diatonicznymi) i przydzielono im symbole: C, D, E, F, G, A, H. Na klawiaturze każdemu klawiszowi odpowiada określony dźwięk. Na klawiaturze fortepianu tonom podstawowym odpowiadają białe klawisze. Muzyk naciskający kolejne białe klawisze począwszy od dźwięku C, uzyskuje ciąg tonów, który współcześnie nazywamy gamą C-dur, powstałą ze starogreckiej skali doryckiej (półtony między III i IV, VII i VIII stopniem). Czarne klawisze na klawiaturze fortepianu odpowiadają dźwiękom chromatycznym, uzyskanym przez podwyższenie lub obniżenie tonów podstawowych.

Podobne doświadczenia jak te z monochordem, wykonywano w Starożytności z użyciem prostej piszczałki (stała się ona pierwowzorem późniejszej fujarki, fletu, oboju, klarnetu itp.). Zauważono wówczas, że wysokość wydawanego dźwięku zależy od długości piszczałki. Im piszczałka krótsza, tym dźwięk wyższy. Aby zmieniać wysokość tego dźwięku, wywiercano w piszczałce otwory, których zakrywanie palcami powodowało wydłużanie lub skracanie słupa powietrza, zamkniętego w rurze (wewnątrz piszczałki). Ta technika w nieco zmodyfikowanej formie dotarła do współczesnych czasów. Wykorzystuje się ją we wszystkich instrumentach dętych. Piszczałki organów kościelnych wydają jeden dźwięk o określonej wysokości w zależności od długości piszczałki. Na rysunkach 2 i 3 zaprezentowano budowę piszczałki organowej i zależności pomiędzy długościami poszczególnych piszczałek organów a odpowiadającymi im dźwiękami (tonami i półtonami).

W Starożytności nie znano pojęcia częstotliwości dźwięków, ale rozpoznawano wysokości dźwięków. Dziś wiemy, że ucho ludzkie nie potrafi odbierać wszystkich dźwięków, jakie istnieją w naszym otoczeniu. Zakres częstotliwości dźwięków, które człowiek słyszy jest przedziałem od 16 Hz (drgań na sekundę), do 20000 Hz. 

Organy mają najszerszą skalę dźwięków z wszystkich istniejących instrumentów. Ich dźwięki zawierają się w przedziale słyszalności ucha ludzkiego a skala ich rozpiętości przekracza skalę dźwięków orkiestry symfonicznej.

Zasady wydawania określonych dźwięków zarówno organów, instrumentów dętych jak i strunowych, daje się opisać za pomocą pojęć języka matematyki. Chodzi tu o matematyzację pewnej sytuacji pozamatematycznej 

Instrumentem, który można stworzyć na użytek domowy, jest zbiór kieliszków tego samego kształtu, napełnionych wodą do odpowiednich wysokości. Pocierając mokrym palcem o brzeg kieliszka słyszymy donośny dźwięk, utworzony przez drgające ścianki kieliszka. Wysokość tego dźwięku zależy od ilości płynu w kieliszku. Im więcej płynu w kieliszku, tym wyższy jest dźwięk. Można tak ustalić wysokości cieczy w kilkunastu kieliszkach i ustawić je w ciąg, że kolejne kieliszki w tym ciągu będą wydawały tony i półtony analogicznie jak klawisze fortepianu. Taki instrument, zwany z angielskiego glas harp, stał się popularny na koncertach muzyki rozrywkowej. 

 Matematyczna analiza dźwięków

Z powyższych rozważań wynika, że pojedynczy dźwięk można opisać na gruncie matematyki za pomocą sinusoidy o określonej długości okresu T, zwanej w fizyce długością L fali dźwiękowej i określonej amplitudzie A, czyli największej wartości, jaką przyjmuje ta funkcja:

gdzie liczba a(t) jest wartością odchylenia w ruchu drgającym w chwili t, A zaś jest amplitudą. Wykresem tej funkcji a(t) jest krzywa w kształcie sinusoidy.

Matematyczną prezentacją dźwięku jest funkcja zmiennej t (czas) o wartościach liczbowych (odchylenie), a więc funkcja liczbowo-liczbowa. Funkcję liczbowo-liczbową utożsamia się z jej wykresem. Ten wykres staje się zatem matematyczną prezentacją dźwięku. W ten sposób możemy mówić o wykresie dźwięku. Przyjmijmy, że prezentacją dźwięku d_j jest funkcja f_j. Chodzi tu o szczególne funkcje (każda musi być okresowa).

Przyporządkowanie, w którym dźwiękowi odpowiada długości L jego fali, jest funkcją różnowartościową, a zatem nie ma dwóch różnych dźwięków o tej samej długości fali.

Równoczesne zagranie kilku dźwięków może być miłe dla ucha (współbrzmienie konsonasowe), albo niemiłe (współbrzmienie dysonansowe).

Postawmy pytanie, czym jest z matematycznego punktu widzenia dźwięk powstały z kompilacji innych dźwięków, czyli z równoczesnego „zagrania tych dźwięków”.

Aby na nie odpowiedzieć, pozostańmy przy instrumentach klawiszowych. Każdy klawisz wywołuje (generuje) odpowiedni dźwięk (każdy klawisz inny). Załóżmy, że klawisz k_j generuje dźwięk d_j.

Jeśli naciśniemy równocześnie dwa klawisze k₁ i k₂, to słyszymy współbrzmienie dwóch dźwięków. Prezentacją tego jest funkcja f_1-2, gdzie f_{1- 2} = f₁ + f₂.

Współbrzmienie d₁₂generowane przez równoczesne naciśnięcie klawiszy k₁i k₂ możemy nazywać sumą dźwięków d₁ i d₂. Analogicznie określimy sumę trzech lub więcej dźwięków. Sumę co najmniej trzech dźwięków, ułożonych według ściśle określonych zasad,  nazywamy akordem.

Wróćmy do równoczesnego zagrania kilku dźwięków (dwóch lub więcej). Z matematycznego punktu widzenia wykresem takiej sumy dźwięków jest wykres sumy funkcji prezentujących poszczególne dźwięki. Rozważmy przykład. Weźmy następujące funkcje okresowe zadane wzorami:

Nietrudno zauważyć, że    dla   n=1, 2, 3, 4, 5.

 

Na rysunku mamy fragmenty wykresów tych funkcji.

Zauważmy, że mówimy tu o ciągu funkcyjnym (f₁, f_2, f_3, f_4, f₅,…). Nie jest tu ważne, że w rachubę wchodzi tu tylko pięć początkowych funkcji tego ciągu. W teorii szeregów funkcyjnych wprowadza się ciąg sum cząstkowych, jako nowy ciąg funkcyjny (s₁, s₂, s₃, s₄, s₅,…), gdzie:

s₁(t) = f₁(t), s₂(t) = f₁(t) + f₂(t), ….., s_n(t) = f₁(t) + f₂(t) + f₃(t) + ×××× +f_n(t), …..

Nietrudno sprawdzić, że

  dla  n= 1,2,3,4,5,….

Wykresy funkcji s₁(t), s₂(t), s₃(t), s₄(t), s₅(t), s₂(t) mamy na rysunku 5 (autor wykonał je w Geogebrze).

 

Suma funkcji okresowych jest funkcją okresową. Funkcja s₅ jest okresowa jako suma pięciu funkcji f₁, f_2, f_3, f_4, f_5, z których każda jest okresowa. Wykres funkcji s₅, ma kształt, zwany przez fizyków wykresem piłokształtnym, gdyż swym wyglądem przypomina zęby piły.

W XIX wieku Joseph Fourier (1768-1830) (zob. rys. 6) odkrył, że jeżeli funkcja f jest prezentacją dźwięku d i tę funkcję da się przedstawić jako sumę dwóch funkcji f₁ i f₂. przy czym funkcje f₁ i f₂są prezentacjami odpowiednio dźwięków d₁ i d₂, to dźwięk d jest sumą dźwięków d₁ i d_2.

Analogicznie jest w przypadku, gdy funkcja f jest sumą trzech funkcji, czterech funkcji itd. Fourier pokazał, jak dla danej funkcji f znajduje się te funkcje f₁,f₂ ,( f₁,f₂, f₃,f₄….).

Tym samym pokazał, że każdy dźwięk można jednoznacznie przedstawić jako sumę dwóch dźwięków (analogicznie sumę trzech, sumę czterech …itd.)

Przedstawiony wyżej rozkład dźwięku nazywamy analizą harmonicznych Fouriera.

Dźwięki wydawane przez człowieka (a także przez zwierzęta i ptaki) można również rozłożyć na składowe dźwięki. Okazuje się, że podobnie jak kod DNA i linie papilarne, rozkład głosu ludzkiego jest dla każdego człowieka inny. Wykorzystuje się to w kryminalistyce w celu udowodnienia obecności czyjegoś głosu w nagraniu dźwiękowym, w biologii do badania „mowy” zwierząt i w technice akustycznej do miksowania głosów i instrumentów muzycznych. Dzięki rozwojowi elektroniki i znajomości analizy Fouriera skonstruowano instrumenty elektroniczne, które z powodzeniem naśladują oryginalne instrumenty muzyczne. 

 Matematyczne podstawy interwałów muzycznych

Od Starożytności proste dźwięki opisywano za pomocą geometrii i ułamków. Ułamki wyrażano za pomocą stosunku długości odcinków. W Starożytności o ułamek  rozważano jako trzy z pięciu równych odcinków, na które podzielono dany odcinek. Aby zbadać teorię dźwięków, Pitagorejczycy zmodyfikowali wspomniany już wcześniej monochord, wstawiając w nim kilka strun wykonanych z tego samego materiału i tej samej długości. Struny monochordu wykonywano prawdopodobnie z wysuszonych jelit barana, jak to do dziś wykonuje się w niektórych ludowych instrumentach smyczkowych. Pod każdą struną ustawiano podpórkę w innym miejscu, co w efekcie wydawało z każdej struny inny dźwięk.

 Podpórka dzieliła każdą strunę w odpowiednim stosunku, licząc od umownego końca struny, zatem każdemu ilorazowi takiego podziału odpowiadał inny słyszany dźwięk.

Podstawowe dźwięki, powstałe z półtonowego podziału strun na monochordzie, które dla Pitagorejczyków dobrze brzmiały, nazwano półtonami. Jest ich dwanaście w obrębie skali  doryckiej. Na klawiaturze fortepianu każde dwa sąsiednie klawisze: biały – czarny, biały – biały (półton naturalny), tworzą półtony. Gdy ominiemy sąsiedni półton, wówczas następny klawisz tworzy cały ton w stosunku do pierwszego. Możemy powiedzieć, że każdy dźwięk podstawowy jest albo całym tonem, albo półtonem dla dwóch sąsiednich dźwięków. 

Jeżeli zagramy taki ciąg ośmiu dźwięków, aby między kolejnymi występowały odległości:

cały ton, cały ton, półton, cały ton, cały ton, cały ton, półton

to ciąg tych dźwięków tworzy gamę durową o nazwie dźwięku początkowego. Jeśli gamę rozpoczynamy od tonu C, to nazywamy ją C-dur, gdy od tonu E to nazywamy ją E-dur.

Niech prezentacją pół tonu będzie ułamek  , tonu zaś ułamek  .

Matematyzując to zagadnienie muzyczne mamy do czynienia z ośmiowyrazowym ciągiem ułamków:

Suma tych ułamków jest równa , czyli dwanaście półtonów, co daje odległość od pierwszego do ostatniego dźwięku gamy.

Ósmy dźwięk gamy brzmi podobnie jak pierwszy, ale jest od niego wyższy o 8 tonów (12 półtonów). Pitagoras nazwał odległość tych dźwięków diapazonem. Dziś odległość tę nazywamy oktawą. Dla odróżnienia, wyższy dźwięk c oznaczamy symbolem c¹. Tak więc c¹ jest dla c o oktawę wyżej, a c dla wprowadzonego dźwięku c¹ o oktawę niżej.

Klawiatura fortepianu ma zazwyczaj długość siedmiu oktaw, co oznacza, że ton c występuje na klawiaturze 7-krotnie. Podobnie każdy inny ton gamy C-dur występuje też siedmiokrotnie. Dla wyróżnienia kolejne tony  c oznaczamy symbolami:

…..,C, c, c¹, c², c³, c⁴, c⁵

Pitagorejczycy odkryli, że po podzieleniu struny podpórką na dwie równe części, każda z nich wydaje dźwięk brzmiący o oktawę wyżej. Oznacza to, że jeśli dźwiękiem struny bazowej jest c, to dźwięk połowy tej struny jest dźwiękiem c¹.

Niektóre podziały struny bazowej powodują wydanie przez nią dźwięku brzmiącego miło dla ucha w porównaniu z dźwiękiem całej struny. Dla tych podziałów Pitagoras określał ilorazy długości dłuższego odcinka struny do długości całej struny i zauważył, że stosunki tych długości wyrażają się ułamkami, których liczniki i mianowniki są liczbami całkowitymi.

Najładniej współbrzmiące z dźwiękiem podstawowym wydawały się mu podziały 2:3, 3:4 i 4:5. Są to więc ułamki postaci  , gdzie , które nazywamy ułamkami pitagorejskimi.

Pitagoras skojarzył te fakty z bokami pewnych trójkątów prostokątnych. Rozważmy takie trójkąty prostokątne, w których przeciwprostokątna i dłuższa przyprostokątna różnią się długością o 1. Są takimi (na przykład) trójkąty o długościach boków:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61), czy (13, 84, 85)

W przypadku tych trójkątów, ilorazy, o którym mowa są następującymi ułamkami:

To odkrycie upewniło Pitagorasa w przekonaniu, że muzyka jest ściśle powiązana z geometrią. Pitagoras kojarzył również muzykę z astronomią. Rysunek 10 prezentuje pitagorejską wizję planet w kontekście skali dźwiękowej i głosu ludzkiego.

 

Współbrzmienie dźwięków wydawanych przez strunę od jej początku do podpórki oraz dźwięku wydawanego przez całą strunę tworzy interwał muzyczny. Interwał 2:3 Pitagoras nazwał diapentem interwał 3:4 zaś diatessaronem. Współczesne ich nazwy, to kwinta i kwarta. Odległość (interwał) dźwięku od niego samego nazywamy prymą. Na poniższym rysunku zaprezentowano miejsca ustawienia podpórki monochordu dla poszczególnych interwałów.

 

Gdybyśmy przyjęli jako podstawowy ton c, wówczas oktawą byłby ton c¹, kwintą ton g zaś kwartą f. Interwałem dobrze brzmiącym dla ucha w połączeniu z prymą i kwintą jest jeszcze tercja. Od niej zależy charakter akordów muzycznych.

Interwały ułatwiają muzykom porozumiewanie się między sobą. Gdy umierający Mozart dyktował Saleriemu swoje ostatnie dzieło „Requiem”, nie dyktował mu nut, tylko informował, który instrument orkiestry powinien zagrać od danego dźwięku serię określonych interwałów. Rozróżniamy interwały wstępujące (wtedy wzrasta częstotliwość dźwięków) oraz zstępujące. Muzykom wygodniej posługiwać się interwałami wstępującymi. Każdemu interwałowi odpowiada odpowiedni stosunek częstotliwości dźwięków. Ich prezentację na klawiaturze mamy na rysunku 12.

Wyróżniamy tu:

pryma czysta                   1/1

sekunda mała               15/16

sekunda wielka                8/9

tercja mała                      5/6

kwarta czysta                  3/4

kwarta zwiększona       32/45

kwinta czysta                  2/3

seksta mała                     5/8

seksta wielka                   3/5

septyma mała                  5/9

septyma wielka              8/15

oktawą czysta                  1/2 

 

Interwał jako odległość dwóch tonów powinna zachowywać się jak odległość matematyczna. Okazuje się, że w muzyce nie musi już tak być. (odległość nie spełnia aksjomatów odległości matematycznej). 

Prześledźmy to na przykładzie.

Jeśli zagramy ton C a następnie interwał jego sekundy (odległość równa jest dwóm półtonom), wówczas zagramy ton D. Jeśli teraz dla tonu D zagramy tercję (odległość równa trzem półtonom), wówczas będzie to ton F. Wykonaliśmy dwie operacje, które graficznie przedstawia rysunek 13.

Odległość od tonu C do tonu F nie wynosi 5, tylko 4, gdyż interwał od C do F jest w muzyce kwartą. Tak więc suma dwóch odległości w muzyce (interwałów) nie jest odległością (interwałem) będącą sumą tych odległości.

Przyjmijmy, że i(XY) oznacza interwał między nutą X i Y.

W omówionym przypadku  i(CD) + i(DF) = 5, zaś i(CF) = 4, a zatem

i(CD)+i(DF) ¹ i(CF)

Czyli nie dla każdych X i Y

i(XY)+i(YZ) ¹ i(XZ)

Częstotliwość f dźwięku wyższego o oktawę od każdego dźwięku c wzrasta dwukrotnie. Zatem

f(c¹) = 2 f(c),

f(c²) = 2 f(c¹) = 4 f(c) =  f(c)

f(c³) = 2 f(c²) = 8 f(c )=  f(c)

itd.

Tak więc częstotliwość dźwięku c w n-tej oktawie jest równa 2ⁿ·f(c), gdzie f(c) oznacza częstotliwośc dźwięku podstawowego c. Podstawą tej funkcji wykładniczej jest liczba 2. 

Akord tworzą co najmniej trzy dźwięki (trójdźwięk), ale można grać również czterodźwięki itd. W każdej tonacji (gamie) występują trzy podstawowe akordy, zwane triadą harmoniczną. Akord zbudowany na I stopniu gamy nazywa się Toniką, na IV stopniu Subdominantą, a na V Dominantą.

Dla gamy C-dur podstawowym tonem jest c, Toniką jest akord c-e-g, Subdominantą f-a-c, zaś Dominantą g-h-d. Natomiast dla gamy G-dur Toniką jest g-h-d, dla gamy D-dur Toniką
d-fis-a.

W ostatnim akordzie pojawił się dźwięk fis, uzyskany przez podwyższenie dźwięku f o pół tonu, za pomocą krzyżyka #. Dodajemy wówczas do jego nazwy końcówkę is.

Na klawiaturze fortepianu uzyskamy go naciskając czarny klawisz pomiędzy klawiszami f i g.

Opisana w opisany sposób triada harmoniczna (T, S, D) jest bazą do harmonizowania danego utworu. Gdy chcemy zagrać jakąś melodię, musimy ustalić tonację, w jakiej ją wykonamy.

Dla przykładu utwór „Panis Angelicus” Cesara Francka wykonywany jest przez Charlotte Church w tonacji A-dur, również przez Andrea Bocelliego w tej samej tonacji, śpiewany o oktawę niżej, ale Elina Garanča z Estonii wykonuje ten utwór w tonacji E-dur. Spowodowane to jest oczywiście różnymi możliwościami głosowymi tych śpiewaków.

Triadę harmoniczną można określić posługując się tzw. kołem kwintowym, czyli kołem opisanym na dwunastokącie foremnym. W każdym z dwunastu punktów tego koła  jest umieszczony jeden z dwunastu dźwięków w taki sposób, by przesuwając się zgodnie z ruchem wskazówek zegara uzyskać dźwięk wyższy o kwintę od poprzedniego. Przesuwając się niezgodnie ze wskazówkami zegara kolejny dźwięk jest obniżony o kwintę od poprzedniego.

Wybierając z koła kwintowego tonację (np. C-dur) widzimy, że dźwięk następny zgodnie z ruchem wskazówek zegara jest dźwięk G, na którym zbudowany akord jest Dominantą w C-dur, zaś poprzedni to dźwięk F, który jest podstawą akordu Subdominantowego.

Zasada tworzenia koła kwintowego oparta jest na regułach matematycznych. Każdy kolejny dźwięk koła kwintowego powstaje z poprzedniego przez przesunięcie się względem niego o jedną kwintę (pięć dźwięków wyżej lub niżej). Każdy muzyk grający „ze słuchu” musi znać koło kwintowe, gdyż dzięki niemu może harmonizować melodię odpowiednio dobranymi akordami. Akordem Dominantowym (Dominantą) dla tonacji C-dur jest akord toniczny dla gamy G-dur, a akordem Subdominantowym jest akord toniczny dla gamy F-dur.

Zgodnie z kołem kwintowym początkujący muzyk, grając „Odę do radości” w tonacji C-dur użyje trzech podstawowych akordów: Tonikę C-dur, Subdominantę F-dur  i Dominantę G-dur. Bardziej zaawansowany muzyk oprócz tych trzech podstawowych akordów ubarwi utwór jeszcze innymi akordami. 

Gdybyśmy jednak byli zmuszeni zagrać tę samą melodię w tonacji np. E-dur, to wówczas z koła kwintowego odczytamy jej Dominantę (jest nią H-dur) oraz Subdominantę, (jest nią A-dur). Te akordy posłużą nam do harmonizowania „Ody” w tej tonacji (E-dur).

Harmonizowanie utworu muzycznego akordami Toniki, Subdominanty i Dominanty w tonacjach durowych towarzyszy melodiom o wesołym charakterze. Natomiast melodię smutną harmonizujemy przy pomocy mollowej Toniki i Subdominanty mollowej, zaś Dominanty durowej. Jeśli na przykład wesoły utwór był skomponowany w tonacji C-dur, dla której Toniką jest akord C-dur, to smutny charakter melodii nada Tonika mollowa (c-moll), Subdominanta mollowa (f-moll) i Dominanta durowa  (G-dur).

W gamie utworzonej od dźwięku c do dźwięku c¹ występuje łącznie osiem pełnych tonów (c, d, e, f, g, h, c¹), oraz pięć półtonów cis, dis, fis, gis, ais.

Matematyka jak widać jest ściśle związana z harmonizowaniem muzyki. Rządzą nią dwie liczby: 12 i 5. Liczba 12 jest liczbą wszystkich możliwych dźwięków, jakie istnieją. Liczba 5 (kwinta) jest liczbą, według której jest zbudowane koło kwintowe.

Akord czterodźwiękowy to pryma, tercja, kwinta i oktawa, a zatem liczby 1, 3, 5, 8, które są wyrazami ciągu Fibonacciego. 

Komat pitagorejski

Ważnym odkryciem pitagorejczyków był tzw. komat pitagorejski. Aby go zrozumieć wykonajmy pewien eksperyment, pamiętając przy tym o dwóch zasadach znanych Pitagorasowi:

1. Jeśli dany dźwięk ma częstotliwość f, to dźwięk wyższy o kwintę od niego ma częstotliwość

równą  , czyli 

2. Jeśli dany dźwięk ma częstotliwość f, to ten sam dźwięk obniżony o oktawę ma częstotliwość równą 

Pitagoras wykonał następujące doświadczenie:

Zagrał na monochordzie najniższy dźwięk C. Następnie kolejno dźwięki wyższe od niego o kwintę, przy czym, jeśli kwinta wyszła poza skalę monochordu, przechodził o oktawę niżej. Jeśli powtórzymy tę czynność 12 razy, to dojdziemy znowu do dźwięku C, który będzie się różnił wysokością w stosunku do dźwięku wyjściowego.

Będą to kolejno dźwięki:  C, G, D, A, E, H, Fis, Cis, Gis, Dis, Ais, Eis (F), His (C⁷). Ciąg tych dźwięków można ustalić na bazie koła kwintowego.

Na klawiaturze fortepianu nie ma ograniczenia skali jak na monochordzie, więc po powtórzeniu dwunastokrotnym ostatni dźwięk C nie stanowiłby unisono z dźwiękiem wyjściowym, gdyby fortepian był nastrojony w stroju nierównomiernie temperowanym. 

Pitagoras uzasadnił ten fakt za pomocą obliczeń matematycznych, dokonanych na podstawie doświadczeń z monochordem. Tworząc kolejne kwinty mnożył częstotliwości poprzedniego dźwięku przez ułamek , starał się przy tym nie wychodzić poza oktawę (od C do C¹). Gdy kolejna kwinta wyszła poza tę oktawę, sprowadzał ją do niej dzieląc jego częstotliwość przez 2.